一元一次方程及应用（三） 行程问题
一、行程问题
在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、相离问题；三、追及问题；四、过桥问题；五、错车问题等。
二、等量关系
1、基本关系
速度 * 时间 = 路程 ； 路程 / 速度 = 时间 ； 路程 / 时间 = 速度
2、相对运动关系
相对运动速度 * 时间 = 相对运动路程；
相对运动路程 / 时间 = 相对运动速度；
相对运动路程 / 相对运动速度 = 时间。
注：（1）、相对运动速度怎么求?
①相向运动（即运动方向相反）
甲、乙相向运动
如图：甲相对乙的的速度即V甲乙 = V甲+V乙
乙相对甲的的速度即V乙甲 = V甲+V乙
②同向运动（即运动方向相同）
甲、乙同向运动
如图：甲相对乙的的速度即V甲乙 = V甲 — V乙
乙相对甲的的速度即V乙甲 = V乙 — V甲
（2）、相对运动路程怎么求？
根据机械运动的定义可知：无论是相向运动还是同向运动，相对运动路程即起始时刻甲、乙之间的距离与终止时刻甲、乙之间的距离之差。
三、列方程的方法
1、画线段图方法（单人运动）
画出可以表示题意的线段图，根据线段图中的等量关系列方程。
2、利用相对运动关系列方程（两人运动）
四、例题解析
例1、甲、乙两站间的铁路长560千米，两列火车同时从两站相对开出，一列火车每小时行63.5千米，另一列火车每小时行80.5千米，3小时后两列火车还相距多少千米？
方法一：画线段图
分析：由线段图得3小时后相距的距离等于全长减去各自走的路程和
解：设两列火车相距x千米
63.5 X 3 + 80.5 X 3 + x = 560
432 + x = 560
X = 128千米
答：相距128千米。
方法二：根据相对运动关系
分析：由题意得起始时刻相距560千米，终止时刻相距x千米，所以相对运动路程为（560 – x )千米，因为是相向运动，相对速度为两速度之和。
解：两列火车相距x千米
560 – x = （63.5 + 80.5）X 3
解得 x = 128千米
答：相距128千米。
例2、甲骑自行车从A地到B 地，乙骑自行车从B 地到A 地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。
例3、A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米。
（1）若两人同时出发相向而行，则需要经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发相向而行，则需要几小时两人相距16千米？
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
例4、A、B两列火车长分别是120米和144米，A车比B车每秒多行5米。
（1）两列车相向行驶，从相遇到两车全部错开需8秒，问两车的速度各是多少？
（2）在（1）的条件下，若同向行驶，A车的车头从B车的车尾追及到A车全部超出B车，需要多少秒？
（1）方法一：画线段图
分析：由线段图可知，两车从相遇到刚好错开A车走的路程加上B车走的路程等于两车车长之和。
解：设B车速度为x m/s，则A车的速度为（x + 5 ）m/s
8 x + 8 （x + 5 ） = 120 + 144
16 x = 224
X = 14 m/s
X + 5 = 19 m/s
答：A车速度为19米每秒，B车速度为14米每秒。
方法二：利用相对运动关系
分析：相遇时A车车头相对于B车是在B车的车头，刚好完全错开后，A车车头相距B车车头的位置正好是两车车长之和。所以A 车相对B车走过的路程即相对路程为两车车长之和。又因为是相向运动，所以相对速度为两速度之和。
解：设B车速度为x m/s，则A车的速度为（x + 5 ）m/s
8 ( x + x +5 ) = 120 + 144
x = 14 m/s
x + 5 = 19 m/s
答：A车速度为19米每秒，B车速度为14米每秒。
(2)
方法一：由图分析可知，A车走的路程减去B车走的路程为两车车长之和。
解：设时间为x秒
19 x — 14 x = 120 + 144
x = 52.8 秒
答：需要52.8秒。
方法二：以B车为参照物，即A相对于B车起始时刻A车车头在B车车尾，刚好完全超过时，A车车头距离B车的车尾距离即为两车车长之和，即相对路程为两车车长之和，又因为是同向运动，所以相对速度为两车速度只差
解：设时间为x秒
（ 19 — 14 ） x = 120 + 144
x = 52.8 秒
答：需要52.8秒。
例5、有两列同方向行驶的火车，快车每秒行30米，慢车每秒行22米，如果从列车头对齐开始算，则行24秒后快车超过慢车，如果从列车尾对齐开始算，则行28秒后快车超过慢车。问快车长多少米，慢车长多少米？