九章算术的作者是谁？成书背景

《九章算术》，是中国古代重要的数学典籍，被后世人称为“算经之首”。1原书作者不详，但一般认为是西汉张苍和耿寿昌整理编纂成书，后经过三国曹魏数学家刘徽的注释得以完善。2该书共分为九章，一共列举了246个与社会生活息息相关的数学问题，并给出了解题的思路和答案，包括各种平面和立体图形的面体积计算、谷物粮食和土木工程的比例分配、分数的四则运算以及方程组和勾股定理等内容，3不仅总结了先秦时代的数学成就，还对后来中国古代的数学以及世界数学的发展做出重要贡献。456《九章算术》的版本众多，而且较为冗杂，7以现代郭书春的汇校本为比较流行、较为清晰的版本。8

成书背景

社会背景

中国古代数学自从诞生就与传统的农业社会联系在一起，由于中国的传统民族文化较为重视实用，所以古代的数学具有厚重的实用主义倾向，注重将技艺服务于社会生活，古代人将其视为生活经验的总结，也是某些人的谋生手段。9比如在人类的数学知识积累过程中，由于计数物件、商业买卖、天文观测和土木工程的需要，产生了自然数、记数法、算术、代数和几何的知识，后期随着工农业和自然科学的发展，古代人逐渐积累有关的经验知识。10基于这样的社会文化，《九章算术》始终处于技术的层面，也是追求服务社会，重视数学知识在社会实践中的运用，遵守匠人技艺的用进废退的原则。9《九章算术》中的“九章”最早来源于西周初年周公旦教授贵族子弟的“九数”，这是一种基于整数四则运算的十进位制记数方法。但是由于西周实行“学在官府”的制度，学术的传播范围狭窄。到了春秋战国时代，出现百家争鸣的文化繁荣景象，社会结构发生根本性变化，数学知识得到了广泛的传播，“九数”算法传统也在社会思想解放的潮流中，逐渐形成了一个复杂多元的数学知识系统，而先秦的《九章算术》就是这种数学知识系统一脉相承的载体。它在秦末农民起义的战火中损毁，张苍、耿寿昌收集遗文残简，进行删补重编，并用当时的语言进行过改造，但它应始终代表着西周“九数”传统的算法式数学在后代的发展。11

个人背景

西汉时的张苍和耿寿昌是《九章算术》整理编纂过程中的重要参与者，张苍是西汉初年的丞相，善于计算，精通律历，掌管各郡国的财政统计工作；耿寿昌也是西汉时期的数学家、理财家、天文学家，汉宣帝时为大司农，12《九章算术》大约也是在他们二人手上成书的。在秦朝以前已有算书流传，但是因为秦始皇推行暴政焚烧百家典籍，西汉的计相张苍和大司农耿寿昌等以实用为宗旨，本着培养行政官吏和教习官家子弟的目的，整理旧书并删补校订。张苍主要负责收集整理先秦的遗存和删减不必要的内容，耿寿昌负责增加补充新的例题和算法。10

内容

《九章算术》一共分成九章，从方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九个方面讲述古代数学的知识，并提出相应的例题和解决办法，包括图形面积、比例分配、勾股定理、一元一次方程等知识，展示出古代先民的数学智慧。

特色

数形结合

数形结合思想是中国古代数学领域常用的思想，是由基本原始概念所构成的解题思路，这种思想就是从《九章算术》开始的，具体的表现就是在解决应用问题时用算数方法和绘制图形相辅相成，比如卷一《方田》和卷五《商功》章中提到的各种平面图形的求面积和立体图形的求体积问题，基本上都用算数的方法，在具体的草图中研究观察各种数字之间的关系，最后确定具体结果。同时也配合使用更加直观的图形来解释算数方法，如上述的两章中描述了“开方术”“开立方术”等数形结合的方法，为以图形作解释打下基础。13

重视实际

《九章算术》的作者和后世的注释者都没有在原文直接表述自己的数学观念，但是从其中的选题、分类以及体系结构可以看出，全书的核心是数学适用于社会生活生产的实用性，任何事物都可以用数字来研究，与数字产生联系。这就是“万物皆数”的数学观，也是《九章算术》重视实用功能的主要原因。13《九章算术》的内容密切结合当时的社会生活的实际需要，如《方田》《粟米》《商功》《均输》等章名就旗帜鲜明地标出了实用的目的，其内容也基本上与章名相符合，书中所涉及的具体问题，如田亩测量、工程建设、交通运输、税收商业等，几乎包含了当时社会生产和生活的各个领域，盈不足、方程、勾股三章，则分别研究了一些常用的数学模型及其用法。10

统计思想

《九章算术》的统计思想包括统计分组、线性回归分析、随机抽样和数量关系。首先，《九章算术》中的统计分组思想是根据研究的目的和客观现象的内在特点，按某个或几个标志把被研究的总体划分为若干个性质不同的组，在《九章算术》中多次出现这种分组方法。在卷八《方程》章中，开头明确地将禾划分为上中下三等，该章中也还出现“武马、中马、下马”，“白禾、青禾、黄禾、黑禾”，“令、吏、从者”等类似的分组方法。其次，《九章算术》具有初步的回归分析概念和方法，就是对具有相关关系的变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个合适的回归方程，据以进行估计或预测的统计方法。《九章算术》虽然没有明确提出线性回归的概念，但其中的部分问题及解法，已经包含了非常完整的线性回归的模型和计算方法。第三，《九章算术》中已经出现抽样推断的方法，具体表现就是随机从总体中抽取样本，根据样本的信息科学估计与推断总体的情况，这是现代统计研究中解决实际应用和学术逻辑的重要分析方法之一。《九章算术》中使用的从旁布点间接估算难测数据的方法就含有抽样推断的思想。最后，《九章算术》提出了“率”这一重要概念，在书中相当多的解题思路中，都有相关的应用，像粟米、均输、盈不足、方程、勾股等章题目的算法，大都是以“率”作为理论基础的。而“率”众多的应用，表明数量关系的研究在《九章算术》中占有相当重要的地位，而这些应用都与现代统计学的概念息息相关。14

分类体例

《九章算术》在篇章结构方面比较突出的特色就是内容编排的体例蕴涵分类思想。《九章算术》的内容编排体例是：“题”“答”“术”，先“题”后“术”，或者先“术”后“题和答”。15题就是解决社会实际的应用问题，答就是题目的具体答案，术就是解题的方法步骤和原理公式，书中的每个问题都由题目、答案和衍术这三部分组成。10即使九章所有问题的这三部分前后顺序并不是完全一样，但从总体的结构安排上来看，《九章算术》“题、答、术”的结构安排体现了作者的推类思想和分类编排的思想；其次，《九章算术》的“九章”题名的排列顺序也遵循了一定的规律，充分体现了作者从易到难的分类思想，究其九数或九章之词意，承沿由直观到抽象、由易到难的分类排列。

《九章算术》可以说开启了“术”作为中国数学古籍的先河，从常规意义上讲，术就是从若干同类应用问题中提炼出来的普遍方法，连同该类问题的首问，共同组成一个常规的数学体系。15《九章算术》的数学命题包含于算法之中，是由具体问题导入或归纳出来的，即先举出某一社会生活领域中的问题，从中归纳出某一类问题的一般解法就是术，整理所有术得出解决该领域问题的一般方法，这就是一章的结构。10

价值

史料价值

《九章算术》经过西汉时期张苍、耿寿昌以及三国刘徽注释之后，保留了大量的两汉社会生活史料，为后世历史学者研究两汉时期的社会经济发展提供了丰富的参考价值。比如在《九章算术》卷三《衰分》和卷六《均输》章中关于各种手工业劳动每日工作量的具体记载，可以看出汉代社会的生产力水平；还有卷五《商功》章里的一些算题，反映出官府工程中劳动分工和生产数量的情况等等；像卷一《方田》、卷三《衰分》和卷六《均输》等章提到的测量计算土地面积和按亩征收田租，向人民课取赋税的各种制度，以及郡县分派摇役的方法，通过算题的内容表现了封建国家与编户农民之间的剥削关系，反映出汉代社会的经济基础；在卷二《粟米》、卷三《衰分》、卷六《均输》、卷七《盈不足》和卷八《方程》等章里，保留了大量货币经济和商品价格的记载，还有实物交易中各种谷物、粮食加工制品的兑换比例，以及车辆的运载能力和车马日行里程等等，可以看出汉代的商业交通状况。16除此之外，《九章算术》二百多个算题中有三十多个涉及到了当时的动物牲畜、布料手工、金银器具和粮食产物等相关信息，给我们展示了汉代的物价水平，保存了汉代边郡和内陆州郡的物价水平资料，填补了目前关于汉代物价资料的缺陷，具有丰富的社会经济史料价值。17

教育价值

《九章算术》对于今天中小学的数学教育具有重要的参考价值和借鉴意义，主要体现在教学题目的选择、老师的教学精神和培养学生的能力素养三个方面。首先在教学或考试题目的选择上，《九章算术》本身就有246道算题，从社会生活等诸多方面取材，新颖独特，现代数学课本当中的很多题目或是题材都是《九章算术》原书题目的现代语言翻译版。比如关于几何图形的面积公式、分数运算法则，内容涉及约分、分数的加减乘除法、比较分数大小、分数平均等。刘徽注释完善之后的《九章算术》利用“析理以辞，解体用图”和出入相补思想将几何与代数结合起来，不仅解决了很多实际数学难题，还体现了数形结合的统一美。18

其次，《九章算术》还可以激发老师在数学教育中的创新精神，减少对于教材的照本宣科，充分发挥创造性，促使老师根据不同学生的认知水平和接受能力施以不同的方法，在教学理念和具体方式上突破常规，培养学生的创新意识和能力，实现教学向创造性方向转变。因为刘徽对《九章算术》的注释并不是简单的解释，而是改正书中错误的内容，并创造性地证明了很多算题，如他第一个将极限思想引入了数学证明，并运用这种思想成功地证明了“割圆术”“弧田术”“开方术”“阳马术”等等，老师在数学教学中应该学习刘徽的创新精神。18

最后，对于学生能力和素养的提升方面，《九章算术》的价值非常重要。其丰富的题材内容，包括图形面积和立体体积的计算、分数的四则运算法则、方程的列与解、正负数的概念与运算等涵盖了中小学数学知识的大部分内容，有利于拓展学生数学知识面，比如三角形面积计算公式的推导；其体系结构中隐藏暗含的从具体到抽象的方法，即通过观察、分析、归纳概括，总结出抽象的结论，并用一定数量的实际问题来辅助理解，有利于学生更好地掌握数学思想方法；其伟大的数学成就和深厚的数学知识不仅可以激发他们对数学的兴趣，其中折射出的人文精神和社会文化内涵也能让学生感受到我国古代在数学上取得了巨大的成就，有利于弘扬中华优秀文化，增强民族自豪感和自信心，从而推动培养学生正确的价值观和卓越的爱国情怀。19

影响

中国

《九章算术》成书流传之后，对于中国传统数学知识架构和体系的形成产生了深刻的影响。20成为后世数学家学习和研究数学的启蒙书籍。东汉安帝元初二年（公元115年），太史令张衡曾经致力于研究《九章算术》，并试图对卷四《少广》中的24题进行修改。三国曹魏景元四年（公元263年），著名的数学家刘徽为其作注，在注释中不断引出新的数学概念和算法，使其更加完善，并推动了中国古代数学的发展。4魏晋以后至十六世纪以前，在《九章算术》的影响下，中国数学学科取得了一系列突破性的成果，涌现出一批杰出的数学家和多部数学名著，比如《孙子算经》、张邱建的《张邱建算经》、祖冲之的《缀术》、唐朝王孝通的《缉古算经》，这些著作在体例、内容、思想、方法等方面继承了《九章算术》的特点，并在《九章算术》的基础上取得了新的突破。唐代朝廷将《九章算术》成为教科书写进国家法律明文中。宋神宗元丰七年（公元1084年），朝廷刊刻官方的《九章算术》，因此《九章算术》成为世界上最早的印刷本数学书，同时北宋朝廷将《九章算术》明文定为主要的数学教科书，作为传授数学知识之用。除此之外，南北朝的甄鸾、唐朝的李淳风、刘孝孙、宋朝的杨辉、清朝的李潢、现代的钱宝琮、郭书春等人也曾经致力于注释、解读、增补或校注《九章算术》的内容。45

国际

《九章算术》不但影响了我国古代数学的发展，而且也引起世界各国学者专家的重视，推动了世界数学的发展。6尤其是对中国的周边国家影响更加深远，促使这些国家的数学事业进一步发展，比如朝鲜、日本、印度以及许多阿拉伯国家。5其中在隋唐时期《九章算术》已传入朝鲜、日本等东亚国家。4从隋朝开始，中国和日本就在数学方面有学术上的沟通，日本政府将包括《九章算术》在内的十几本中国数学古籍选为数学教材；在唐朝时，朝鲜学习中国的教育体系，创建自己的学校，专门开设讲授中国数学的课程，和日本一样将《九章算术》等中国数学著作选为主要教科书；除此之外，印度将《九章算术》最后一章“勾股”中的第6题“葭生中央问题”演变成了“莲花问题”，还被印度作家改编成了流传甚广的趣味诗歌；阿拉伯国家的数学著作中也或多或少地体现了《九章算术》的内容，间接促进了阿拉伯国家的数学发展。5在近现代的欧洲《九章算术》先后被译成俄、英、法、德等国家的语言并广泛传播。6

评价

正面评价

《九章算术》是中国古代重要的数学典籍，15被后世人誉为“算经之首”，21代表西汉之前的中国古代数学研究成果，集先秦时代和秦朝的数学知识之大成，7标志中国古典数学体系的正式建立。15《九章算术》不仅使数学成为我国古代科学中较发达的基础学科之一，而且也为此后我国数学领先于世界一千四五百年奠定了坚实的基础。7该书深刻影响了后世几千年的数学学科发展，21成为东亚各民族教授和学习数学的主要蓝本，在数学史上的地位可以和古希腊的数学家欧几里德所著的《几何原本》相提并论。15

负面评价

但是《九章算术》由于成书年代较早，受当时的社会条件约束，只看重其中算法的实用性，而忽视了严密的科学逻辑体系建设，忽略抽象的学术概念，没有能建立起精确的数学符号体系，10致使其在学科中孤立发展，没有上升到精神文化的高度，存在天然的缺陷。9

刊本注本

刘徽注本

三国曹魏景元四年（公元263年），曹魏数学家刘徽为《九章算术》作注，后世成为《九章算术注》。该书在纠错的基础上全面论证了原书中的解法公式，奠定了我国古代数学的理论基础，尤其是他在数学证明中引入极限与无穷小分割思想，在古代世界数学的发展产生了深远影响。刘徽身处魏晋时期，受当时名士辩难析理的社会风气影响，在注解的时候讲求“析理以辞”，同时他也受到了当时传统的儒家、道家、墨家的经典书籍以及东汉王充《论衡》的影响，并从中汲取大量的素材和逻辑思想，用在数学研究和注解上。他的无穷小分割和极限思想受墨家、道家的影响尤为突出，他驳正开立圆术的推理方式与《论衡》一致。7

刘徽秉持实事求是的态度研究数学，在《九章算术》命题的注释过程中严密推理、认真论证，在尽力完善《九章算术》的基础上提升自己的学术水平，并且刘徽突破前人桎梏，勇于在数学研究中开拓创新，同时在卷一《方田》章的圆田术和卷五《商功》章的阳马术等注释中，刘徽提出了独到的数学见解，强调论证过程简单直接和数学结论的延伸与推广，对前人的学术成果进行了批判性继承，取得了丰厚的成果。2223

刘徽在《九章算术注》当中所提出的具体数学理论包括，“凡数相与者谓之率”这一率的定义，指出率具有“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”三种等量变换；一阳马与一鳖糯合成一堑堵的体积之比恒为二比一的刘徽原理与多面体体积理论；计算立体图形体积问题的截面积原理，以及发展完备的出入相补原理；将极限状态的边数为无穷的正多边形分割成无穷多个以圆心为顶点、以每边为底的小等腰三角形，求它们的面积之和，证明了圆面积公式；指出了《九章算术》开立圆术的错误及正确解决它的途径，刘徽形成了一个“约而能周、通而不默”的浑然一体的数学理论体系。7

刘徽的主要思想贡献是“极限”“重差”及“类”的思想，奠定了微积分理论的基础。极限思想是刘徽“割圆术”的引申，并由此推导出圆周率的数值，这便实现了割圆术在极限思想下的运用。刘徽在《九章算术》中便提出了一种测量太阳高度的方法，被当时的数学家称之为“重差”，刘徽在其对《九章算术》的注释中提到很多问题的证明都以‘类’的概念为基础，其证明过程及方法以‘合类’为主，这也说明刘徽在当时对“类”的思想有着深刻的理解及不同的发展与创新。2223

其他版本

在魏晋南北朝至唐朝中叶，社会上流传着几个各有不同的刘徽、李淳风等注释的《九章算术》手抄本，李籍根据这些不同的手抄本创作出《九章算术音义》；南宋数学家杨辉根据李籍提到的几个“另本”整理出一版的《九章算术》；南宋还有一种鲍刻本。明朝根据李籍《九章算术音义》整理出来《永乐大典》本；清朝戴震从《永乐大典》中辑录的《九章算术》加以校勘，然而他的校勘本漏洞百出，衍脱文现象严重；清代屈曾发的刻本和孔继涵的刻微波榭本在后世最为流行，但是修辞加工过多，造成《九章算术》版本的极大混乱；清代官方以戴震辑录校勘本为底本抄写了《四库全书》本和《武英殿聚珍版丛书》本，同样错讹极多；之后李演校勘过《九章算术》，钱宝琮以微波榭本为工作底本重新校勘；清朝末年福建影雕根据李演的校改修补过聚珍版，广东广雅书局的聚珍版又根据福建聚珍版翻刻，虽然两者流传范围广，但是容易出现混乱。自戴震以来二百余年，《九章算术》的版本一直混乱。《九章算术》必须重校，而且戴震以后的任何版本都不宜作重校本的底本。1983年，白尚恕以钱宝琮的校本为底本创作出《九章算术注释》，并在科学出版社出版，对普及《九章算术》的知识起了一定的作用，但注释中错误甚多，质量不如钱校本。7

郭书春汇校本

《九章算术》经过长时间的流传和刊印，各种版本参差不齐，内容庞杂错乱。从二十世纪八十年代开始的二十多年间，中国科学院自然科学史研究所的郭书春先生就致力于校勘《九章算术》，郭书春先生先是收集了二十多种从宋代到现代的可见《九章算术》版本，详细对比研究，利用图表和论文说明不同版本之间的关系脉络，方便日后的校勘工作。1990年郭书春先生出版了《汇校九章算术》一书，该书总共出校勘记1700余条，包括近300条戴震、李潢、钱宝琮等人的校勘和自己的1400余条校勘。2004年郭先生又出版了《汇校本》的增补版，在原来的基础上增加了180余条校勘记。郭先生秉持着对前人批判性继承的精神，大胆假设小心求证，系统整理戴震的校勘。郭先生根据南宋鲍刻本纠正了戴震的诸多失误之处，从而使《汇校本》最大限度地恢复了《九章算术》原貌，其校勘成果令学术界较为满意。吴文俊先生在序言中认为郭书春先生完成了这一艰巨的历史性任务，李学勤先生称《汇校本》为《九章算术》的最佳版本。8