数学的美妙常常隐藏在问题的深处。那些看似简单的猜想，却需要几十年，甚至几百年的时间才能得以证明。这些数学猜想的解决过程，不仅是对数学本质和基础的深刻探索，也是数学发展的里程碑。在这篇文章中，我们将探讨十个基于基础数学的猜想，它们的证明过程曲折而漫长，却最终在数学家们的坚持下迎来了成功。
第一个猜想是阿贝尔-鲁菲尼定理，也被称为阿贝尔不可能定理。它表明对于五次或更高次的一般多项式方程，不存在一般代数解，即根式解。
1799年，高斯首次提出了这个猜想，但保罗·鲁菲尼在同年尝试解决它，但并未令人信服。直到1824年，N.H.阿贝尔才被认为是该猜想的证明者，他的证明基于伽罗瓦理论的一些结果。然而，这个理论在证明时还没有具体化，直到J.刘维尔的合著下，伽罗瓦的理论才被公认为在方程理论方面带来了重大发现。1963年，V.Arnold提供了Abel-Ruffini定理的拓扑证明，奠定了拓扑伽罗瓦理论的基础。
希尔伯特的第17个问题涉及到E.Artin在1927年解决的问题，即关于实多项式，它们在整个R^n上是非负的，不能写成实多项式的有限平方和。费马小定理，最早由P·德·费马在1640年提出，说如果p是素数，那么对于任何整数a，整数a^p-a是p的倍数，也是数论的一个基本结论，具有重要的质数检验和密码学应用。
庞加莱猜想是描述三维球的命题，即每一个单连通的、封闭的三维流形与三维球同胚。
在20世纪50年代和60年代，数学家们尝试证明这个猜想，最终由俄罗斯数学家佩勒曼提供了完整的解决方案，他的工作以汉密尔顿的里奇流理论为基础，并获得了菲尔兹奖章。
四色定理表明，任何地图都可以用四种颜色着色，使相邻区域不共享相同的颜色。最初由弗雷德里克·格思里提出，数学家们在计算机的帮助下，于1976年证明了这一定理，其中图论、欧拉公式、射影几何、拓扑学和组合学都发挥了关键作用。
Catalan猜想涉及到连续幂，即(8, 9)是方程x^p-y^q=±1的唯一非平凡解。它在复数理论和伽罗瓦群理论中有应用。
费马大定理，历经数百年的寻找，最终由A.怀尔斯在1995年提出的证明，它涉及到对于任何大于2的整数n，都不存在a，b，c这样的正整数满足a^n+b^n=c^n。
开普勒猜想关于三维空间中的球体堆积，经过多次探索，最终在1998年由托特提供了证明，这个问题涉及到全局优化理论和区间算法的方法。
