基本信息编辑
中文名
对称矩阵
外文名
Symmetric Matrices
定义
元素以主对角线为对称轴对应相等
形状
n 阶方阵
性质
对称矩阵的转置等于其本身
应用科学
数学
线性运算
满足
对称矩阵编辑
数学线性代数中的矩阵之一
对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
目录
1基本性质2矩阵转置3应用
基本性质
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1.对于任何方形矩阵
是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
5.用
表示
上的内积。
的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有
，
。
6.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：
7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
8.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。
9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
10.如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵
也是对称矩阵。
11.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间
的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
矩阵转置
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把一个
矩阵的行，列互换得到的
矩阵，称为A的转置矩阵，记为
。
矩阵转置的运算律(即性质)：
1.
2.
3.
4.
若矩阵A满足条件
，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即
对任意i,j都成立。
应用
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1．对称矩阵
（1）对称矩阵
在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：
则称A为对称矩阵。
（2）对称矩阵的压缩存储
对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。
①按行优先顺序存储主对角线（包括对角线）以下的元素
即按次序存放在一个向量
中（下三角矩阵中，元素总数为
）。
其中：
……
②元素
的存放位置
a元素前有i行（从第0行到第
行），一共有：
个元素。
在第i行上，
之前恰有j个元素，即
因此有：
③
之间的对应关系：
若
若
令
，则k和i，j的对应关系可统一为：
（3）对称矩阵的地址计算公式
通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。
【例】a和a均存储在
中，这是因为
